Matematisk analyse: Et ikke-standard alternativ

Abstract

I denne mastergradsoppgaven er målet å undersøke hvordan ikke-standard analyse kan fungere som et alternativ til den veletablerte, klassiske analysen. Først gjennomgås konstruksjonen av såkalte hyperreelle tall, som deretter brukes til å redefinere kjente begreper fra klassisk kalkulus. Dette er begreper som funksjon, kontinuitet, derivasjon og integrasjon. Nye definisjoner samt hyperreelle talls egenskaper brukes videre til å begrunne sentrale teoremer i kalkulus. En viktig hensikt med dette er å vise hvordan bevisføringen ofte blir enklere og mer intuitiv dersom vi baserer oss på hyperreelle versus reelle tall. Ikkestandard- beviset for Peanos eksistensteorem, med og uten tidsforsinkelse, kan betraktes som oppgavens hovedresultat. Utover oppgavens fokus på stringent, matematisk bevisføring og argumentasjon, legges det vekt på å forklare grunnlaget for, og utviklingen til, matematisk analyse i et historisk og filosofisk perspektiv. Dermed har oppgaven også andre formål enn å utføre alternative bevis for kjente teoremer. Spesielt vil tanker og idéer som har ledet frem til Robinsons konstruksjon av de hyperreelle tallene drøftes. På den måten søkes innsikt i analysen på en annen måte enn det som er standard i mange lærebøker i matematikk, der slike filosofiske betraktninger gjerne er viet liten plass. Denne oppgaven kan i så måte være interessant for lesere som søker å utforske grunnleggende tankegang i matematikk, og burde således passe godt for matematikklærere. Dette er for øvrig forfatterens eget utgangspunkt.

The aim of this master thesis is to examine how non-standard analysis may serve as an alternative to the established, classical analysis. The construction of so-called hyperreal numbers is reviewed, and then used to redefine familiar concepts from classical calculus. Concepts like function, continuity, differentiation and integration are redefined, and these new definitions and their properties are used to justify central theorems in calculus. An important purpose is to show that often the theorems are proved more easily and intuitively if we rely on hyperreal versus real numbers. Non-standard proof of Peano’s existence theorem for differential equations, with and without delay, can be considered the main result. The emphasis, beyond the focus on rigorous mathematical evidence and arguments, is explaining the basis for and the development of mathematical analysis in a historical and philosophical perspective. Thus, the thesis also includes other goals than to simply perform alternative proofs of known theorems. Thoughts and ideas that have led to Robinson’s construction of the hyperreals are discussed, and accordingly the analysis is explored in a different manner than the standard in many mathematical textbooks, where this discussion is often missing. Therefor, this thesis may be of interest for readers seeking to explore basic thinking in mathematics, and especially teachers in mathematics; which is the author’s point of view.