Matematisk analyse: Et ikke-standard alternativ
Master thesis
Permanent lenke
http://hdl.handle.net/11250/2398669Utgivelsesdato
2016-08-10Metadata
Vis full innførselSamlinger
- Master's theses (RealTek) [1723]
Sammendrag
I denne mastergradsoppgaven er målet å undersøke hvordan ikke-standard analyse kan
fungere som et alternativ til den veletablerte, klassiske analysen. Først gjennomgås konstruksjonen
av såkalte hyperreelle tall, som deretter brukes til å redefinere kjente begreper
fra klassisk kalkulus. Dette er begreper som funksjon, kontinuitet, derivasjon og integrasjon.
Nye definisjoner samt hyperreelle talls egenskaper brukes videre til å begrunne sentrale
teoremer i kalkulus. En viktig hensikt med dette er å vise hvordan bevisføringen ofte
blir enklere og mer intuitiv dersom vi baserer oss på hyperreelle versus reelle tall. Ikkestandard-
beviset for Peanos eksistensteorem, med og uten tidsforsinkelse, kan betraktes
som oppgavens hovedresultat.
Utover oppgavens fokus på stringent, matematisk bevisføring og argumentasjon, legges
det vekt på å forklare grunnlaget for, og utviklingen til, matematisk analyse i et historisk
og filosofisk perspektiv. Dermed har oppgaven også andre formål enn å utføre alternative
bevis for kjente teoremer. Spesielt vil tanker og idéer som har ledet frem til Robinsons
konstruksjon av de hyperreelle tallene drøftes. På den måten søkes innsikt i analysen på en
annen måte enn det som er standard i mange lærebøker i matematikk, der slike filosofiske
betraktninger gjerne er viet liten plass. Denne oppgaven kan i så måte være interessant
for lesere som søker å utforske grunnleggende tankegang i matematikk, og burde således
passe godt for matematikklærere. Dette er for øvrig forfatterens eget utgangspunkt. The aim of this master thesis is to examine how non-standard analysis may serve as
an alternative to the established, classical analysis. The construction of so-called hyperreal
numbers is reviewed, and then used to redefine familiar concepts from classical calculus.
Concepts like function, continuity, differentiation and integration are redefined, and these
new definitions and their properties are used to justify central theorems in calculus. An
important purpose is to show that often the theorems are proved more easily and intuitively
if we rely on hyperreal versus real numbers. Non-standard proof of Peano’s existence
theorem for differential equations, with and without delay, can be considered the main
result.
The emphasis, beyond the focus on rigorous mathematical evidence and arguments, is
explaining the basis for and the development of mathematical analysis in a historical
and philosophical perspective. Thus, the thesis also includes other goals than to simply
perform alternative proofs of known theorems. Thoughts and ideas that have led to
Robinson’s construction of the hyperreals are discussed, and accordingly the analysis is
explored in a different manner than the standard in many mathematical textbooks, where
this discussion is often missing. Therefor, this thesis may be of interest for readers seeking
to explore basic thinking in mathematics, and especially teachers in mathematics; which
is the author’s point of view.