Water waves radiated from an oscillating line source in shear flow with a free surface and non-zero surface velocity

Abstract

Denne oppgaven beskriver et todimensjonalt linearisert vannbølge problem, der en oscillerende kilde er plassert i vannet. Vi antar at vannet er verken viskøst eller kompressibelt, og at trykket på overflaten er homogent og atmosfærisk. Vannet der kilden er plassert har en overflatehastighet. Vi kaller den retningen denne overflatehastigheten går for medstrøms, og den andre retningen motstrøms. Den neddykkede kilden er plassert i vann med skjærstrøm, dette betyr at hastigheten på vannet i horisontal retning avhenger lineært med dybden. Denne skjærstrømmen kan både gå i samme og motsatt retning av overflatehastigheten. I utgangspunktet ligger den frie overflaten helt i ro, og all bølgeaktivitet i vannet kommer fra den neddykkede kilden. Vi tar utgangspunkt i Euler’s bevegelseslikninger for fluider. Det er tidligere blitt jobbet med samme problem med utgangspunkt i Laplace’s likning. Dette ga derimot ikke en helt rett tolkning fordi Laplace’s likning ikke er oppfylt i hele vannet, og dermed ble hele eksistensen av den kritiske bølgen ikke oppdaget. Vi jobber en stund med endelig konstant dybde på havet, men hoveddelen av oppgaven handler om uendelig dybde. Kilden ligger hele tiden på en bestemt endelig dybde.

I denne oppgaven løses problemet analytisk for amplituden til bølgene i fjernfeltet. Vi oppdager at det totalt kan eksistere fire dispersive bølger, i tillegg til en femte kritisk bølge som ikke er dispersiv. Alle disse fem bølgene skapes av den neddykkede kilden. Til sammen lager disse fem bølgene hele det synlige bølgesystemet. Vi finner for uendelig dybde at de fire dispersive bølgene har forskjellige områder av eksistens. Eksistensen av bølgene diskuteres i ett dimensjonsløst skjærstrøm og frekvens plan. Det er kun den første bølgen, som går i samme retning som overflatehastigheten, som alltid vil eksistere. Det er også en andre bølge som går i positiv retning, men med et noe mindre område av eksistens. De to bølgene som går i motsatt retning av skjærstrømmen, henholdsvis bølge tre og fire, har enda mindre område der de eksisterer. Den fjerde bølgen har bare et lite område der den eksisterer. Den kritiske bølga vil eksistere så lenge strømmen i vannet ved kildens dybde er null. Ved alle andre hastigheter vil bølgen eksistere. Den kritiske bølgen vil alltid ha samme fasehastighet som strømmens hastighet ved kildens dybde. Dette betyr at den kritiske bølgen kan gå både oppstrøms og motstrøms. Dette er fordi den ikke er avhengig av overflatehastigheten men av hastigheten på kildens dyp. Dette viser at den kritiske bølgen bare er en manifestasjon til overflaten av det som skjer på kildens dyp.

Vi finner at den kritiske bølgen kan resonnere med alle de fire dispersive bølgene. Dette gis ved grafer i ett dimensjonsløst skjærstrøm, frekvens plan. Den fjerde bølgen krever en større dybde i forhold til overflatestrømmen enn de andre bølgene. For tre av disse bølgene, henholdsvis bølge en, to og fire, skaper dette en samlet bølge som har en faseforskyvning. I tillegg inneholder dette ett ledd som inneholder avstanden til kilden. Dette betyr at i lengden går denne amplituden til uendelig. For den tredje bølgen bryter derimot teorien litt sammen og gir bare en amplitude som er uendelig. Vi finner i tillegg at de to bølgene som går i motsatt retning av overflatehastigheten kan resonnere med hverandre og skape Doppler resonans. Denne blir her kalt for Dopplerbølgen. Også for denne bølgen bryter teorien sammen og gir en amplitude som er uendelig. Den kritiske bølgen vil kun være i resonans med en bølge av gangen, med ett eneste unntak. Den kritiske bølgen kan nemlig også resonnere med Dopplerbølgen. Dette krever en enda større minste dybde i forhold til overflatehastigheten for å kunne skje. Allikevel så er det maks ved to punkter i dimensjonsløst skjærstrøm, frekvens plan at resonans mellom alle tre motstrømsbølgene er mulig. Lineær teori vil gi uendelig amplitude også for denne bølgen. Lineær teori gir uendelig amplitude ved resonans fordi vi tvinger til bølgen å være periodisk. Det er derimot mulig med lineær resonans, noe vi har ved resonans mellom de dispersive bølgene og den kritiske bølgen. Da får vi en amplitude som vokser med avstanden fra kilden.