Elevers diskusjon om variabler : kan deres argumenter utfordre forståelsen?

Abstract

Nøkkelord i masteroppgaven er diskusjon, argumentasjon, forståelse og variabler. Studien dreier seg om elevers relasjonsforståelse av variabler, og hvorvidt argumentasjon kan bidra til å utfordre deres forståelse. Forskningsspørsmålet er ”Hvordan kan argumentasjon i diskusjon bidra til å utfordre elevers relasjonsforståelse av variabler?”. Diskusjon legger til rette for at elever kan dele sine matematiske tanker og ideer. Således gir det et bilde av deres forståelse. Denne studien baserer seg på forståelsestypene resonnementsforståelse og begrepsforståelse, som anses som viktige aspekter ved elevers relasjonsforståelse. Et problemområde i matematikk for mange elever er algebra. Spesielt synes elever at variabler er vanskelig. Elever viser ulik forståelse på ulikt nivå ved bruk av bokstaver i matematikk. Forståelsen henger sammen med deres utvikling, som har likhetstrekk med den historiske utviklingen til algebra. Å bruke bokstavene som objekter, det vil si at bokstaven a kan stå for ape og bokstaven b for banan, er en av flere misoppfatninger av variabler. Ved å la elevene diskutere oppgaver, som gir en passende utfordring, kan deres misoppfatninger og relasjonsforståelse av variabler komme til uttrykk. Gjennom diskusjon kan dessuten matematiske ideer og begreper bli personlige og oppleves som meningsfulle for elevene. Det kan styrke deres oppfatning og utvikle deres relasjonsforståelse. I denne masteroppgaven ble fire elever fra niende klasse observert ved hjelp av videokamera. Disse elevene hadde nylig stiftet bekjentskap med algebra. Sammensetningen av gruppen ble gjort på bakgrunn av en skriftlig matematikktest med diagnostiske oppgaver. Testen ble analysert på bakgrunn av koder som avdekket misoppfatninger. Toulmins modellen ble benyttet som analytisk verktøy for å analysere elevenes argumenter fra videoobservasjonen. Resultatene ble fremstilt ved korte transkripsjonsutdrag med påfølgende analyse. Den komplekse situasjonen og elevenes argumenter skapte et nyansert bilde av elevenes relasjonsforståelse. Diskusjonen la til rette for at elevene kunne dele sine synspunkter og meninger. Ved at elevene satte ord på sine ideer knyttet til et variabelproblem, ble elevenes matematiske tanker gjort offentlig. Situasjonen ga således innsyn i elevenes misoppfatninger og relasjonsforståelse av variabler. Av de fire elevene i gruppen viste to av elevene trygghet i situasjonen og delte engasjert sine tanker. En elev så ut til å finne situasjonen ubehagelig, mens den siste eleven ikke i tilstrekkelig grad ble oppmuntret til å dele sine meninger. Dette skyldtes lærerens, altså min, uerfarenhet på området. Allikevel viste én av elevene eierskap i å lære matematikk, som påpekes som et viktig aspekt ved produktiv diskusjon. Litteraturen peker på diskusjon, arbeidsoppgaver, engasjement og motivasjon som viktige faktorer for å utfordre elever. Denne studien forklarer en utfordring som en situasjon eller faktor som motiverer elevene til å si sin mening. Gjennom elevenes diskusjon ble de utfordrende faktorene, fra tidligere vitenskaplige arbeider, bekreftet. En av elevene demonstrerte engasjement i å avgjøre hvilken påstand som ga mening i situasjonen. Det bidro til å utfordre hans relasjonsforståelse. Elevene hadde ulik oppfatning av bokstavene i oppgavene og uttrykte det ved ulike påstander i argumentasjonen. Ved motstridende påstander ble spesielt en av de fire elevene utfordret. Utfordringen viste hvordan eleven resonnerte mellom situasjonen og betydningen av bokstaven. Elevens resonnementsforståelse ble utfordret, samt hans begrepsforståelse. Da han viste begrepsforståelse av variabler på et høyere nivå, ga sammenhengen og variabelbegrepet i større grad mening for ham. Den samme eleven forsøkte å forklare hvordan en medelev tenkte. Det utfordret ham til å ta oppgjør med sin egen påstand knyttet til oppgaven. Således utfordret det ham til å reflektere og resonnere. Følgelig viste det seg at å forsvare en påstand utfordret elevens resonnementsforståelse av variabler. Flere av elevene uttrykte entusiasme over å diskutere variabler, hvilket gir et godt utgangspunkt for å lære og tilegne seg dypere forståelse for matematiske begreper. Gjennom diskusjonen avdekket elevenes argumenter deres relasjonsforståelse av variabler. Dessuten bidro argumentene til å utfordre egen og medelevenes forståelse av variabler. Ved at elever diskuterer variabler, kan de få positive erfaringer med variabler og matematikk. Ettersom andre områder i matematikk bygger på variabelbegrepet, er det viktig å utvikle god begrepsforståelse. Ved å la elevene representere sine ideer knyttet til variabler, kan det føre til at variabelbegrepet gir mening for dem. Således kan også andre områder i matematikk gi mening for dem. Discussion, argumentation, understanding and variables are key words in the master’s thesis. The focus of the study is students’ relational understanding of variables, and in which ways argumentation can challenge their understanding. The research question is “How can argumentation in discussion contribute to challenge students’ relational understanding of variables?” Discussion arranges for students to share their mathematical thoughts and ideas. Thus it gives a picture of their understanding. This study is based on two components of understanding, called adaptive reasoning and conceptual understanding, which are interpreted to be important aspects of students’ relational understanding. Algebra is a problem area for many students. Students find variables difficult and variables seem to be a particularly difficult notion to grasp. Students understand letters in mathematics in different ways and on different levels. The understanding is connected to their development, which has similarities to the historical development of algebra. To use letters as objects, for instance that the letter a means apple and the letter b means banana, is one of several misconceptions tied to variables. When students discuss tasks given an appropriate challenge, aspects of their relational understanding of variables and misconceptions can be studied. Through discussion mathematical ideas and conceptions can become personal, experienced as meaningful and strengthen students’ thought and develop their relational understanding. In this masters’ thesis four students from the ninth grade, who recently got to know algebra in school, were observed with a video camera. The group selection was based on results from a written test containing diagnostic tasks. These tasks were given specific codes emphasizing various misconceptions. Toulmin’s model was used as an analytical tool analyzing the students’ arguments from the video observation. The results were represented by short transcription extracts with following analysis. A nuanced picture of the students’ relational understanding of variables was created in the complex situation and expressed through their argumentation. The discussion made it possible for students’ to share their points of view and opinions. When students expressed their ideas concerning a variable problem, their thoughts were made public. The situation gave insights to the students’ misconceptions and relational understanding of variables. Two of the four students in the group showed confidence in the situation and shared their thoughts. The third student was seemingly uncomfortable in the situation, while the fourth student was not sufficiently encouraged to share his opinions. That was because of the teachers, in this case my, inexperience in the area. Either way, one of the students showed ownership in learning mathematics, as pointed out as an important aspect in productive discussion. The literature points at discussion, tasks, commitment and motivation as important aspects to challenge students. A challenge, in this study, is considered a situation or an aspect that motivates students to express their opinions. This study confirms findings from earlier studies. One of the students demonstrated commitment in making a decision on which of the claims that made sense in the situation, which challenged his relational understanding. The students had different opinions of the letter from the tasks, which they expressed by different claims in the argumentation. The conflicting claims challenged especially one of the students. The challenge showed the students’ reasoning about the situation and his meaning of the letter. The student’ adaptive reasoning was challenged, and so was his conceptual understanding. When he showed conceptual understanding of variables on a higher level, the context and the concept of the variable, made more sense to him. The same student tried to explain how a co-student was thinking, which challenged him to do something about his own claim concerning the task, which challenged him to reflect and reason. Thus a students adaptive reasoning was challenged by defending a claim. Several of the students expressed enthusiasm discussing variables, which is an important basis for learning and to adapt a deeper understanding of mathematical concepts. The students’ relational understanding of variables was revealed through discussion. In addition, the arguments challenged their own and co-students understanding of variables. When students discuss variables, they can receive a positive experience with variables and mathematics. It is important to develop good conceptual understanding, because other areas in mathematics are built upon the concept of variables. By letting students represent their ideas of the variable, the result might be that variables make sense to them. Thus other areas in mathematics will probably make sense.