Power-Law Formalisme i kontinuerlige og stykkevis kontinuerlige differensiallikninger som beskriver biokjemiske systemer

Abstract

Denne masteroppgaven i anvendt matematikk behandler kontinuerlige S-systemer og stykkevis kontinuerlige S-systemer, inkludert lokal stabilitetsanalyse av slike systemer. S-systemer er viktige i analyse av biokjemiske systemer, og vi beskriver hvilke trinn en analyse av biokjemiske systemer består av. Vi illustrerer konstruksjon av diagrammer og dertil hørende kontinuerlige S-systemer, med eksempler. Deretter viser vi at ethvert initialverdiproblem hvor differensiallikningene er et kontinuerlig S-system der samtlige variabler forutsettes positive, og der eventuelle uavhengige variabler er konstante, er velformulert. Vi redegjør for teori som gir viktige metoder til bruk i lokal stabilitetsanalyse. Deretter gir vi eksempler på lokal stabilitetsanalyse av kontinuerlige S-systemer. Egenutviklet MATLAB-kode brukes til å finne kritiske punkter og til å vurdere ustabilitet og lokal asymptotisk stabilitet. I behandlingen av stykkevis kontinuerlige S-systemer definerer vi viktige begreper, og vi gir eksempler med stykkevis kontinuerlige S-systemer hvor vi utfører lokal stabilitetsanalyse. Egenutviklet MATLAB-kode brukes til å analysere normalkomponenters variasjon langs en vegg. Vi demonstrerer at for stykkevis kontinuerlige S-systemer kan forskjellige områder av samme vegg være av forskjellig type (transparent, hvit eller svart). For ett av de stykkevis kontinuerlige S-systemene demonstrerer vi en lukket bane som gjennomløper samtlige virkeområder. ii This Master's thesis in applied mathematics treats continuous S-systems and piecewise continuous S-systems, including local stability analysis of such systems. S-systems are important in analysis of biochemical systems, and we describe which steps an analysis of biochemical systems consists of. Using examples, we illustrate the process of constructing maps and accompanying continuous S-systems. Then we show that every initial value problem where the differential equations are a continuous S-system in which all variables are assumed to be positive and any independent variables are constant, is well posed. We give an account of theory that gives important methods for use in local stability analysis. Subsequently we give examples of local stability analysis of continuous S-systems. MATLAB-code made by the master student himself is made use of to find critical points and to assess instability and local asymptotic stability. In the treatment of piecewise continuous S-systems we define important terms, and we give examples with piecewise continuous S-systems where we perform local stability analysis. MATLAB-code made by the master student himself is made use of to analyse variation of normal components along a wall. We demonstrate that for piecewise continuous S-systems, different parts of the same wall can be of different type (transparent, white or black). For one of the piecewise continuous S-systems we demonstrate a closed trajectory running through every operational domain.